Question

探究：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，E為AD的中點，若EF∥AB．求證：BF=CF

知識應用：如圖，坐標平面內有兩個點A和B其中點A的坐標為（x₁，y₁），點B的坐標為（x₂，y₂），求AB的中點C的坐標．

知識拓展：在上圖中，點A的坐標為（4，5），點B的坐標為（-6，-1），分別在x軸和y軸上找一點C和D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點C和點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：【探究】：過點F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延長線于點G，求證△CFG≌△BFH即可；
【知識應用】：分別過A、B、C、三點作x軸的垂線，由A、B的坐標，進而即可求解點C的坐標；
【知識拓展】：由于點C、D的位置不確定，也即AB可能是平行四邊形的邊長，亦有可能是其對角線，所以應分幾種情況：
即①當AB是平行四邊形一條邊，且點C在x軸的正半軸時，則AD與BC互相平分；
②當AB是平行四邊形一條邊，且點C在x軸的負半軸時，又是一種情況；
③當AB是對角線時，所以應分開來分別求解．
解答：【探究】證明：過點F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延長線于點G，

∵AH∥EF∥DG，AD∥GH，
∴四邊形AHFE和四邊形DEFG都是平行四邊形，
∴FH=AE，FG=DE，
∵AE=DE，
∴FG=FH，
∵AB∥DG，
∴∠G=∠FHB，∠GCF=∠B，
∴△CFG≌△BFH，
∴FC=FB；

【知識應用】過點C作CM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥x軸于點N，過點B作BP⊥x軸于點P，

則點P的坐標為（x₂，0），點N的坐標為（x₁，0），
由探究的結論可知，MN=MP，
∴點M的坐標為（，0），
∴點C的橫坐標為，
同理可求點C的縱坐標為，
∴點C的坐標為（，）．

【知識拓展】
①當AB是平行四邊形一條邊，且點C在x軸的正半軸時，AD與BC互相平分，
設點C的坐標為（a，0），點D的坐標為（0，y）
由上面的結論可知：-6+a=4+0，-1+0=5+b，
∴a=10，b=-6，
∴此時點C的坐標為（10，0），點D的坐標為（0，-6），
②同理，當AB是平行四邊形一條邊，且點C在x軸的負半軸時，求得點C的坐標為（-10，0），點D的坐標為（0，6），
③當AB是對角線時點C的坐標為（-2，0），點D的坐標為（0，4）．
點評：本題主要考查了平行線的性質以及平行四邊形的判定及性質和坐標問題，應在理解的基礎上熟練求解．