Question

如圖，將△ABC放在平面直角坐標系中，使B、C在X軸正半軸上，若AB=AC．且A點坐標為（3，2），B點坐標為（1，0）．
（1）求邊AC所在直線的解析式；
（2）若坐標平面內存在三角形與△ABC全等且有一條公共邊，請寫出這些三角形未知頂點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據AB=AC求出C點的坐標，再將A、C兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出邊AC所在直線的解析式；
（2）已知A，B，C的坐標易知△ABC為等腰直角三角形，所求的三角形與△ABC全等且有一條公共邊，分別考慮AB，AC，BC為公共邊三種情況．

解答：解：（1）設C點的坐標為（x，0）．
∵AB=AC，
∴點A在BC的垂直平分線上，
又∵A點坐標為（3，2），B點坐標為（1，0），
∴

1+x

2

=3，
∴x=5，即C點的坐標為（5，0）．
設邊AC所在直線的解析式為y=kx+b，則

3k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=-1 b=5

．
故邊AC所在直線的解析式y=-x+5；

（2）∵A點坐標為（3，2），B點坐標為（1，0），C點的坐標為（5，0），
∴AB=AC=2

2

，BC=4，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC為等腰直角三角形．
如圖所示，符合要求的點有：
C₁（-1，2），C₂（1，4），C₃（5，4），C₄（7，2），C₅（3，-2）．

點評：本題主要考查了運用待定系數法求一次函數的解析式，三角形全等的性質及勾股定理的逆定理，綜合性較強，難度中等．注意（2）中應分幾種情況討論，討論時要做到不重不漏．