Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．

（1）求直線(xiàn)CD的解析式；

（2）求拋物線(xiàn)的解析式；

（3）將直線(xiàn)CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°所得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線(xiàn)段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1；（2）y=x2+2x+1；（3）證明見(jiàn)解析；（4）存在．為.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)解析式；

（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；

（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；

（4）如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線(xiàn)段C′C″的長(zhǎng)度．利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長(zhǎng)最小．如圖③所示，利用勾股定理求出線(xiàn)段C′C″的長(zhǎng)度，即△PCF周長(zhǎng)的最小值．

（1）C（0，1），D（1，0）

∴直線(xiàn)CD的解析式為；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x－2）2+3，

易得y=（x－2）2+3=x2+2x+1

（3）OC=OD，OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，

對(duì)稱(chēng)軸x=2與CE交于點(diǎn)M，M（2，1）

易知△QMC與△QME是等腰直角三角形

∴△ CQE也是等腰直角三角形

∴△CEQ∽△CDO

（4）存在。

如圖作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)性得：

PC=PC′ CF=C″F

C，C′關(guān)于直線(xiàn)QE對(duì)稱(chēng)

C′（4，5）

又C″（－1，0） C′C″=

∴△PCF的周長(zhǎng)最小值是