Question

（2009•廈門）已知四邊形ABCD，AD∥BC，連接BD．
（1）小明說：“若添加條件BD²=BC²+CD²，則四邊形ABCD是矩形．”你認為小明的說法是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請舉出一個反例說明；
（2）若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意作出（直角）梯形ABCD，使得AD∥BC，且∠C=90°，則四邊形ABCD是直角梯形不是矩形；
（2）根據tan∠DBC=1，BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC求出四邊形ABCD是正方形．
解答：（1）解：不正確．（1分）
如圖作（直角）梯形ABCD，（2分）
使得AD∥BC，∠C=90°．
連接BD，則有BD²=BC²+CD²．（3分）
而四邊形ABCD是直角梯形不是矩形．（4分）

（2）證明：如圖，
∵tan∠DBC=1，
∴∠DBC=45°．（5分）
∵∠DBC=∠BDC，
∴∠BDC=45°．
且BC=DC．（6分）
法1：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，∴∠ABD=∠BDC．
∴AB∥DC．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．（7分）
又∵∠ABC=45°+45°=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．（8分）
∵BC=DC，
∴四邊形ABCD是正方形．（9分）

法2：∵BD平分∠ABC，∠BDC=45°，∴∠ABC=90°．
∵∠DBC=∠BDC=45°，∴∠BCD=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADC=90°．（7分）
∴四邊形ABCD是矩形．（8分）
又∵BC=DC
∴四邊形ABCD是正方形．（9分）

法3：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°．∴∠BDC=∠ABD．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD=BD，
∴△ADB≌△CBD．
∴AD=BC=DC=AB．（7分）
∴四邊形ABCD是菱形．（8分）
又∵∠ABC=45°+45°=90°，
∴四邊形ABCD是正方形．（9分）
點評：本題比較新穎，考查了學生對所學知識的綜合運用能力，及創新能力，是中考的熱點．