Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂．0），其中x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，3），且x₁，x₂滿足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥X軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根與系數的關系得出x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，進而求出b的值，進而利用配方法得出二次函數的頂點坐標即可；
（2）利用待定系數法求出一次函數解析式，進而表示出P點坐標，利用S=OA•OC+（PM+OC）•OM結合二次函數性質得出最值以及P點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點C（0，3），
∴當x=0時，c=3．
又∵x₁，x₂滿足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0，由根與系數的關系得：
x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，
代入得：2b-3-1=0，
得b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²，+2x+3=-（x-1）²+4
∴頂點D的坐標是（1，4）；

（2）令y=0，得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
故點A的坐標是（1，0），B的坐標是（3，0）．
設直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0），
∵直線y=kx+n過點B（3，0），D（1，4），
∴，
解得：，
∴直線BD的解析式為y=-2x+6．
∵P點在線段BD上，
∴設點P的坐標為（m，-2m+6）．
又∵PM⊥X軸于點M，
∴PM=-2m+6，OM=m．
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
設四邊形PMAC的面積為S，則
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×1×3+（-2m+6+3）•m
=-m²+m+=-（m-）²+
∵1＜＜3，
∴當m=時，四邊形PMAC的面積最大，最大面積為，此時，P點坐標（，）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式以及二次函數最值問題等知識，根據已知表述出P點坐標是解題關鍵．