Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且ED是⊙O的切線．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若∠C=30°，CD=8cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．根據切線的性質，得OD⊥DE．根據三角形的中位線定理，得OD∥AC，從而證明結論；
（2）連接AD．根據直徑所對的圓周角是直角，得AD⊥BC，再根據線段垂直平分線的性質，得AB=AC．在直角三角形ACD中，根據30°直角三角形的性質進行求解．
解答：（1）證明：連接OD．
∵ED是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．

（2）解：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC．
在直角三角形ACD中，∠C=30°，CD=8cm，
∴AC=，
則圓的半徑是cm．
點評：此題綜合運用了切線的性質、三角形的中位線定理、圓周角定理的推論以及30°直角三角形的性質．注意：連接過切點的半徑、構造直徑所對的圓周角為直角，是圓中常見的輔助線．