Question

已知：
（1）a＞0
（2）當-1≤x≤1時，滿足|ax²+bx+c|≤1；
（3）當-1≤x≤1時，ax+b有最大值2．
求常數a、b、c．

Answer 1

解：當a＞0時，ax+b的值隨著x取值的增大而增大，
所以x=1時，ax+b有最大值a+b，即：a+b=2
令x=0，則|c|≤1，即：-1≤c≤1
令x=1，則|a+b+c|≤1，即：|2+c|≤1，
所以-3≤c≤-1
故c=-1．
令y=ax²+bx+c，則拋物線y=ax²+bx+c必過（0，-1）
因為當-1≤x≤1時，-1≤ax²+bx+c≤1，所以該二次函數的最小值是-1，
∴
∴4ac-b²=-4a
∵c=-1
-4a-b²=-4a
∴b=0
∴a=2
所以a=2，b=0，c=-1．
分析：由已知：a＞0，ax+b有最大值2，就知道ax+b是一個升函數，當-1≤x≤1時，ax+b有最大值2，就可以求出a+b的值為2，然后根據當-1≤x≤1時，滿足|ax²+bx+c|≤1，就可以求出c的值，最后根據x的范圍確定二次函數的最小值為-1，這樣由二次函數的頂點坐標公式就可以求出b值，從而求出常數a、b、c的值．
點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查了一次函數的圖象特征，用不等式組求解的特殊方法的運用以及二次函數的頂點公式的運用．