Question

如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過B，C兩點，點A是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求B、C兩點坐標；
（2）求此拋物線的函數解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了過B、C兩點的直線的解析式，當x=0時可求出C點的坐標，當y=0是可求出B點的坐標．
（2）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此將B、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（3）根據（2）的拋物線的解析式可得出A點的坐標，由此可求出AB的長，由于S_△PAB=S_△CAB，而AB邊為定值．由此可求出P點的縱坐標，然后將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）∵直線y=-x+3經過B、C
∴當x=0時y=3
當y=0時x=3
∴B（3，0）C（0，3）

（2）∵拋物線y=-x²+bx+c經過B、C
∴．
∴b=2，c=3．
∴此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（3）當y=0時，-x²+2x+3=0；x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0）
設P（x，y）
∵S_△PAB=S_△CAB
∴×4×|y|=×4×3
∴y=3或y=-3
①當y=3時，3=-x²+2x+3
∴x₁=0，x₂=2
P（0，3）或（2，3）
②當y=-3時，-3=-x²+2x+3
∴x₁=1+，x₂=1-
∴P（1+，-3）或（1-，-3）．
因此存在這樣的P點，其坐標為P（0，3），（2，3），（1+，-3），（1-，-3）．
點評：本題主要考查了一次函數與二次函數解析式的確定，圖形的面積的求法等知識點，要注意的是（3）中點P的縱坐標要分正負兩種情況進行求解，不要漏解．