Question

如圖，已知反比例函數y=

k1

2x

的圖象與一次函數y=k₂x+b的圖象交于A，B兩點，A（1，n），B（-

1

2

，-2），請你在x軸上找點P，使△AOP為等腰三角形，則這樣的點P有

4

個，其坐標分別是

（

2

，0），（-

2

，0），（1，0），（2，0）

．

Answer 1

分析：將點B的坐標代入反比例函數解析式，得出k的值，將點A的橫坐標代入，得出點A的坐標，求出OA的長度，分情況討論：①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA；分別得到點P的坐標即可．

解答：解：將點B（-

1

2

，-2），代入反比例函數y=

k1

2x

，可得：-2=

k1

-1

，
解得：k₁=2，
∴反比例函數解析式為：y=

1

x

，
將點A的橫坐標x=1代入y=

1

x

，可得y=1，
故點A的坐標為（1，1），
則OA=

2

，
①若OA=OP，如圖①所示：

此時可得P₁（

2

，0），P₂（-

2

，0）；
②若AO=AP，如圖②所示：

此時可得P₃（2，0）；
③若PO=PA，如圖③所示：
，
此時△OAP₄是等腰直角三角形，P₄（1，0）．
綜上可得點P的坐標為：（

2

，0）或（-

2

，0）或（1，0）或（2，0），共4個．
故答案為：4、（

2

，0），（-

2

，0），（1，0），（2，0）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合，涉及了待定系數法求反比例函數解析式、反比例函數圖象上點的坐標特征及等腰三角形的判定，解答本題的關鍵是數形結合思想及分類討論思想的綜合運用．