Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求∠P的度數；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，AB=4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA=OC可以得到∠A=∠ACO，而∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，由此得到∠A=∠ACO=∠PCB，又AB是⊙O的直徑，所以∠ACO+∠OCB=90°接著可以推出即OC⊥CP，然后就可以證明PC是⊙O的切線；
（2）由PC=AC得到∠A=∠P，接著得到∠A=∠ACO=∠P，而∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°，利用這個等式和已知條件即可取出∠P；
（3）由M是半圓O的中點得到∠BCM=45°，由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，這樣可以求出BC的長度，作BD⊥CM于D，利用等腰直角三角形的性質可以分別求出CD，DM，CM，也就可以求出S_△BCM，而∠BOC=2∠A=60°，這樣也可以求出弓形BmC的面積，最后就可以求出線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積．
解答：（1）證明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB（1分）
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACO+∠OCB=90°（2分）
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP（3分）
∵OC是⊙O的半徑
∴PC是⊙O的切線（4分）

（2）解：∵PC=AC，∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠P（5分）
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°（6分）

（3）解：∵點M是半圓O的中點，
∴CM是角平分線，
∴∠BCM=45°（7分）
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC=AB=2（8分）
作BD⊥CM于D，
∴CD=BD=，
∴DM=
∴CM=（9分）
∴S_△BCM=（10分）
∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面積=（11分）
∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積為（12分）
（注：其它解法，請參照給分）
點評：本題考查切線的性質和判定及圓周角定理的綜合運用，綜合性比較強，對于學生的能力要求很高．