Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A、B、C的坐標．
（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據-x²+2x+3=0，解得x₁=3、x₂=-1，即點A（-1，0），B（3，0），根據拋物線y=-x²+2x+3交y軸于點C，可知當x=0時，y=3，所以C（0，3）；
（2）拋物線y=-x²+2x+3的點頂為M，根據頂點公式可知M（1，4），過點M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S_△BCM=S_{四邊形COBM}-S_△BOC=3．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點，
∴令y=0，則0=-x²+2x+3，
∴（x-3）（x+1）=0
∴x₁=3，x₂=-1，
∴點A（-1，0），B（3，0），
又∵拋物線y=-x²+2x+3交y軸于點C，
∴點C（0，3）．

（2）把y=-x²+2x+3配方得y=-（x-1）²+4，
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點為M，
∴M（1，4），
∴過點M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3，
∴S_△BCM=S_{四邊形COBM}-S_△BOC，
=S_梯形COEM+S_△BEM-S_△BOC，
=

(3+4)×1

2

+

2×4

2

-

3×3

2

，
=3．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法以及二次函數和一元二次方程的關系．