Question

（2009•相城區模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F為AE上一點，且∠BFE=∠C，
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=2，AD=3，BE=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求三角形相似就要得出兩組對應的角相等，已知了∠BFE=∠C，根據等角的補角相等可得出∠ADE=∠AFB，根據AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，這樣就構成了兩三角形相似的條件．
（2）根據（1）的相似三角形可得出關于AB，AE，AD，BF的比例關系，有了AD，AB的長，只需求出AE的長即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長，這樣就能求出BF的長了．
解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
∴AE===4．
∵△ABF∽△EAD，
∴=．
∴=．
∴BF=．
點評：本題主要考查了三角形的判定和性質，同時也用到了平行四邊形的性質和等角的補角相等等知識點．