Question

【題目】已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。

∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE。∴DO∥MN，

∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM =90°，即OD⊥DE。

∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線

（2）解：連接CD，

，

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD= ，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠AED =90°。

∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。 ∴ ，即 。

解得：AC=15，

∴⊙O的半徑是7.5cm。

【解析】 （1）要證DE是⊙O的切線，因此連接OD，先根據OA=OD得出∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得出∠OAD=∠DAE，再證出∠ODA=∠DAE得到DO∥MN，由DE⊥MN，證得OD⊥DE。即可得出結論。
（2）根據已知易證△ACD∽△ADE，根據相似三角形的對應邊成比例，建立方程求解即可。
【考點精析】掌握平行線的性質和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．