Question

如圖所示，已知正方形ABCD的對角線交于O點，O是正方形A′B′C′O′的一個頂點，兩個正方形的邊長都為a，若正方形A′B′C′O繞點O任意轉(zhuǎn)動．試觀察其重疊部分OEBF的面積有無變化，請說明理由；若無變化，求出四邊形OEBF的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得△AOE≌△BOF，從而可知S_{四邊形OEBF}=S_△AOB=

1

4

S_△ABCD．

解答：解：其重疊部分OEBF的面積無變化．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠OAE=∠OBF=45°．
∵四邊形A′B′C′O為正方形，
∴∠C′OA′=90°，
即∠BOF+∠BOE=90°．
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOE．
在△OAE和△OBF中，
OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，
∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF．
∴S_△AOE+S_△OBE=S_△BOF+S_△OBE，
即S_△AOB=S_{四邊形OEBF}，
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

•

AB

2

•

AB

2

=

1

4

a2，
∴S_{四邊形OEBF}=

1

4

a2．

點評：求解時需抓住正方形的特征，找出△AOE與△BOF在旋轉(zhuǎn)過程中的對稱性，獲得四邊形OEBF的面積與正方形面積的關(guān)系．