Question

如圖，平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，且OA=AB．
（1）如圖，在圖中畫出△AOB關于BO的軸對稱圖形△A₁OB，若A（-3，1），請求出A₁點的坐標：
（2）當△AOB繞著原點O旋轉到如圖所示的位置時，AB與y軸交于點E，且AE=BE．AF⊥y軸交BO于F，連接EF，作AG∥EF交y軸于G．試判斷△AGE的形狀，并說明理由；

（3）當△AOB繞著原點O旋轉到如圖所示的位置時，若A（

3

，3），C為x軸上一點，且OC=OA，∠BOC=15°，P為y軸上一點，過P作PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，當P在y軸正半軸上運動時，試探索下列結論：①PO+PN-PM不變，②PO+PM+PN不變．其中哪一個結論是正確的？請說明理由并求出其值．

Answer 1

分析：（1）過點A作AA₁⊥BO，且BO為AA₁的中垂線，連接A₁B，A₁O即可；證明△ACO≌△ODA₁，可求得A₁的坐標；
（2）過B作BH⊥AB于B交AF的延長線于H，由∠OAE=∠ABH=90°，∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH，OA=AB，易得△AEO≌△BHA，則AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA；又∠EBF=∠HBF=45°，BF=BF，可證△BEF≌△BHF（SAS），∴∠BHF=∠BEF，再由AG∥EF，易得∠EAG=∠AEG，則AG=EG；
（3）過A作AL⊥x軸于L，連接AP、PC，易得AL=3，再由∠AOC=45°+15°=60°，OC=OA，可得△AOC為等邊三角形，因為S_△POC=

1

2

PO•OC，S_△PAC=

1

2

PN•AC，S_△POA=

1

2

PM•OA，S_△AOC=

1

2

AL•OC，且S_△AOC=S_△POC+S_△PAC-S_{△POA，代入易得}PO+PN-PM=AL=3．

解答：（1）解：如圖所示：△A₁OB為所畫的軸對稱圖形（1分）
過A作AC⊥x軸于C，A₁D⊥x軸于D，
∵A（-3，1），
∴AC=1，OC=3，
∵OA=AB，∠BAO=90°，
∴∠BOA=45°，
∴∠BOA₁=45°，
∴∠AOA₁=90°，
∴∠AOC+∠A₁OD=90°，
又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠A₁OD，
又∵∠ACO=∠ODA₁=90°，AO=A₁O，
∴△ACO≌△ODA₁（3分）
∴AC=OD=1，OC=A₁D=3，
∴A₁，（1，3）（4分）

（2）△AEG為等腰三角形（5分）
證明：過B作BH⊥AB于B交AF的延長線于H，
∵∠OAE=∠ABH=90°，∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH，OA=AB，
∴△AEO≌△BHA（6分）
∴AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA，
又∵∠EBF=∠HBF=45°，BF=BF，
∴△BEF≌△BHF（SAS）
∴∠BHF=∠BEF（7分）
∵AG∥EF
∴∠EAG=∠BEF
∴∠EAG=∠AEG
∴AG=EG
即△AEG為等腰三角形（8分）

（3）PO+PN-PM=3不變，
解：過A作AL⊥x軸于L，連接AP、PC（9分）
∵A（

3

，3）
∴AL=3（（10分））
∵∠AOC=45°+15°=60°，OC=OA，
∴△AOC為等邊三角形，
∵S_△POC=

1

2

PO•OC，
S_△PAC=

1

2

PN•AC，
S_△POA=

1

2

PM•OA，
S_△AOC=

1

2

AL•OC，（11分）
且S_△AOC=S_△POC+S_△PAC-S_△POA，
∴S_△AOC=

1

2

AL•OC=

1

2

PO•OC+

1

2

PN•AC-

1

2

PM•OA，
∴PO+PN-PM=AL=3（12分）．

點評：本題綜合性強，綜合考查了軸對稱的性質、等邊三角形的判定、全等三角形的判定、三角形的面積等知識點，難度較大，作輔助線是關鍵，同時注意充分利用已知條件．