Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=，∠B=45°，動點M從點B出發，沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發，沿C→D→A，以同樣速度向終點A運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為t秒．
（1）求線段BC的長度；
（2）求在運動過程中形成的△MCN的面積S與運動的時間t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，△MCN的面積S最大，并求出最大面積；
（3）試探索：當M，N在運動過程中，△MCN是否可能為等腰三角形？若可能，則求出相應的t值；若不可能，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，
分別過A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分別交BC于E，F；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=；
∴BE=AE=DF=4．
在Rt△DFC中，
CF=；
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；

（2）①如圖2，
當0≤t≤5時，CN=BM=t，
MC=10-t；
過N作NG⊥于BC于點G；∴△NGC∽△DFC
∴，即；
∴NG=；
∴S=；
∵，函數開口向下；
∴當時，S_max=10；
②如圖3，
當5≤t≤8時，S=；
∵-2＜0，即S隨t的減小而增大；
∴當t=5時，S_max=10；
綜上：，
當t=5時，△MCN的面積S最大，最大值為10；

（3）當0≤t≤5時：CN=BM=t，MC=10-t；
①當MC=NC時，t=10-t，解得：t=5；
②當NM=NC時，如圖4，
過N作NH⊥BC于點H，
則有HC=MH，可得：，
解得：；
③當MN=MC時，如圖4，

過M作MI⊥CD于I，CI=，又，
即：，可得，解得：（舍去）；
當5＜t≤8時，如圖5，
過C作CJ⊥AD的延長線于點J，過N作NK⊥BC于點K；
則：MC²=（10-t）²=t²-20t+100；MN²=（12-2t）²+4²=4t²-48t+160；NC²=（t-2）²+4²=t²-4t+20；
④當MC=NC時，t²-20t+100=t²-4t+20，解得：t=5（舍去）；
⑤當MN=MC時，4t²-48t+160=t²-20t+100，
解得：（舍去）；
⑥當MN=NC時，t²-4t+20=4t²-48t+160，
解得：（舍去）．
綜上：當時，△MCN為等腰三角形．
分析：（1）根據已知作出AE⊥BC，DF⊥BC，進而得出EF=AD=3；由勾股定理得出CF的長即可得出答案；
（2）首先利用當0≤t≤5時，得出△NGC∽△DFC進而得出，再利用當5≤t≤8時得出s與t的關系式求出即可；
（3）從當MC=NC時，當MN=NC時，當MN=MC時，分別分析得出即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及二次函數的最值和一元二次方程的應用等知識，分別從當MC=NC時，當MN=NC時，當MN=MC時進行分類討論注意不要漏解．