Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圓心O1從點A開始沿折線A﹣D﹣C以1cm/s的速度向點C運動，⊙O2的圓心O2從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，⊙O1半徑為2cm，⊙O2的半徑為4cm，若O1、O2分別從點A、點B同時出發，運動的時間為t．

（1）請求出⊙O2與腰CD相切時t的值；

（2）在0s＜t≤3s范圍內，當t為何值時，⊙O1與⊙O2外切？

Answer 1

【答案】（1）；（2）經過3秒，⊙O1與⊙O2外切

【解析】試題（1）先設⊙O2運動到E與CD相切，且切點是F；連接EF，并過E作EG∥BC，交CD于G，再過G作GH⊥BC于H，即可得到直角三角形EFG和矩形GEBH．由∠C=60°可得∠CGH=30°，即可得到∠FGE=60°．在Rt△EFG中，根據勾股定理可得EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，即可求得結果；

（2）因為0s＜t≤3s，所以O1一定在AD上，連接O1O2．利用勾股定理可得到關于t的一元二次方程，解出即可．

（1）如圖所示，設點O2運動到點E處時，⊙O2與腰CD相切．過點E作EF⊥DC，垂足為F，則EF=4cm．作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足為H．

由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，

又∠EGF+∠CGH=90°，

∴∠GEF=∠CGH=30°，

設FG=xcm，則EG=2xcm，又EF=4cm，

根據勾股定理得：，解得，

則，

又在直角三角形CHG中，∠C=60°，

∴

則EB=GH=CHtan60°=

∴秒；

（2）由于0s＜t≤3s，所以，點O1在邊AD上．如圖連接O1O2，則O1O2=6cm．

由勾股定理得，

解得，（不合題意，舍去）．

答：經過3秒，⊙O1與⊙O2外切．