Question

2010年世博會在我國上海召開，為激發學生的愛國熱情，紅星中學舉辦了主題為“了解世界，愛我中華”的百科知識競賽，評出一等獎3人，二等獎6人，三等獎18人，學校決定給所有獲獎學生各發一份獎品，同一等次獎品相同．
（1）若一等獎、二等獎、三等獎的獎品分別是科學記算器、飛機模型和望遠鏡，購買這三種獎品共計花費366元，其中購買科學記算器的總錢數比購買飛機模型的總錢數多24元，而飛機模型的單價比望遠鏡的單價多1元，求科學記算器、飛機模型和望遠鏡的單價各是多少元？
（2）若三種獎品的單價都是整數，且要求一等獎的單價是二等獎單價的2倍，二等獎的單價是三等獎單價的2倍，在總費用不少于300元而不多于 400元的前提下，購買一、二、三等獎時的單價有幾種情況？分別求出每種情況中一、二、三等獎獎品的單價．

Answer 1

分析：（1）首先根據題意設出未知數，找出題目中的等量關系：①科學記算器、飛機模型和望遠鏡，購買這三種獎品共計花費366元，②購買科學記算器的總錢數比購買飛機模型的總錢數多24元，③飛機模型的單價比望遠鏡的單價多1元，列出方程組解方程組即可；
（2）根據題意設三等獎的單價為a元，表示出二等獎的單價和一等獎的單價，再根據“總費用不少于300元而不多于 400元的前提下”，列出不等式，解出后，取整數解即可．

解答：解：（1）設科學記算器、飛機模型、望遠鏡的單價分別為x元、y元、z元，依題意，
有

3x+6y+18z=366 3x-6y=24 y=z+1

，
解得

x=32 y=12 z=11

；   

（2）設三等獎的單價為a元，則二等獎的單價為2a元，一等獎的單價為4a元，
依題意，有300≤3×4a+6×2a+18a≤400，
所以7

1

7

≤a≤9

11

21

，又因為a是整數，
∴a=8或9，
故一、二、三等獎獎品的單價有兩種情況：
情況一：一等獎獎品單價為32元，二等獎獎品單價為16元，三等獎獎品單價8元．
情況二：一等獎獎品單價為36元，二等獎獎品單價為18元，三等獎獎品單價為9元．

點評：此題主要考查了三元一次方程組以及不等式的應用，關鍵是弄清題意，找出合適的等量關系或不等關系．