Question

已知：如圖，直線y=x-15與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若這拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)C．對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，求△DAC的面積；
（3）若點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)．CE與DH交于點(diǎn)G，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，△POH是否能夠與△CGH相似？如果能，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x-15，
y=0時，0=x-15，
∴x=15，
當(dāng)x=0時，y=-15，
∴A（15，0），B（0，-15），
代入得，
解得，
∴拋物線的解析式：y=-x²+6x-15．

（2）拋物線的解析式可變形為，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，12），
設(shè)y=0，則，
∴（x-9）²=36．
∴x₁=3，x₂=15，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∴．

（3）∵點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AC的中點(diǎn)，．
∴點(diǎn)G是△DAC的重心．如圖：

∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，12），
∴，
∴HO=9，CH=6．
設(shè)△POH∽△GHC時，
=，
∴=
∴PO=6，
∴P₁（0，6）；
△POH∽△CHG時，=，
=，
∴．
∴．
∴△POH能夠與△CHG相似，相似時點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（0，6）或．
分析：（1）分別把x=0和y-0代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，代入拋物線得出方程組，求出方程組的解，即可得出拋物線的解析式；
（2）求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）求出GH、HO、CH的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出兩個比例式，代入即可求出P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較典型，但有一定的難度，注意：分類討論思想的運(yùn)用．