Question

如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的啦標為（-1，0），點B在拋物線上，

1.點Ａ的坐標為__________,點Ｂ的坐標為___________;拋物線的解析式為_________;

2.在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊向直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由

3.若點D是(1)中所求拋物線在第三象限內的一個動點，連結BD、CD。當△BCD的面積最大時，求點D的坐標。

4.若點P是(1)中所求拋物線上一個動點，以線段AB、BP為鄰邊作平形四邊形ABPQ。當點Q落在x軸上時，直接寫出點P的坐標．

 

Answer 1

 

1.Ａ（0，2）,B(-3,1).

2.存在點Ｐ（點B除外），使三角形ＡＣＰ是以ＡＣ為直角邊的直角三角形    4分

理由如下：

分情況討論：

①延長ＢＣ交拋物線于點Ｐ，連結ＡＰ₁

因為∠ACB=90°,∴∠ACP=90°

設直線BC的解析式為y=kx+b

將Ｂ(-3,1),C(-1,0)代入上式得

所以                        5分

聯立方程組解得（不符合題意舍去）

所以：Ｐ₁（1，-1）                                        6分

②過點Ａ作ＡＰ₂//BC,交拋物線于點Ｐ₂，Ｐ₃

設直線ＡＰ₂的解析式為，將代入得

所以：

聯立方程組解得：

所以：Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）

綜上所述：存在點Ｐ₁（1，-1），Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）（點Ｂ除外），使三角形ＡＣＰ

是以ＡＣ為直角邊的直角三角形                              7分

3.設點Ｄ的坐標為（m,）,過點Ｄ作ＤＭ⊥x軸交直線ＢＣ于點Ｍ

所以點Ｍ的坐標為（m，），ＭＤ＝          8分

再設三角形ＢＣＤ的面積為Ｓ。

Ｓ＝＝       9分

因為Ｓ是m的二次函數，且拋物線開口向下，函數有最大值

即當m＝-1時Ｓ有最大值２

此時點Ｄ的坐標為（-1，-2）

4.（1，-1）。（-2，-1）

解析:（1）根據勾股定理求點Ａ的坐標,點Ｂ的坐標，根據點Ｂ的坐標求拋物線的解析式

（２）根據延長ＢＣ交拋物線于點Ｐ，連結ＡＰ₁，或者過點Ａ作ＡＰ₂//BC,交拋物線于點

Ｐ₂，Ｐ₃構成的三角形進行解答

（3）設點Ｄ的坐標為（m,）,過點Ｄ作ＤＭ⊥x軸交直線ＢＣ于點Ｍ，求得ＭＤ＝，三角形ＢＣＤ的面積為,再根據二次函數的性質求出點D的坐標

(4)根據平形四邊形的性質求出點P的坐標