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如圖,以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作等腰Rt△BCD,如果AB=1,AD=
2
,則AC的長為(  )
分析:在AC上取一點E,使CE=AB,連接DE,證明△ABD≌△ECD就可以得出△ADE是等腰直角三角形就可以得出結論.
解答:解:在AC上取一點E,使CE=AB,連接DE.
∵∠BAC=∠BDC=90°,
∴∠AFB+∠ABF=90°,∠DFC+∠DCF=90°.
∵∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠DCE.
∵△ABC是等腰Rt△,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,
BD=CD
∠ABF=∠DCE
AB=EC

∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴AD=ED,∠ADB=∠EDC,
∵∠BDE+∠EDC=90°,
∴∠BDE+∠ADB=90°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∵AD=
2

∴AE=2.
∵CE=AB=1,
∴AC=2+1=3.
故選C.
點評:本題考查了等腰直角三角形的判定及性質的運用,勾股定理的運用,全等三角形的判定及性質的運用,解答時運用截取法作輔助線是難點.
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23、如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O,與斜邊AC交于D,E是BC邊上的中點,連接ED、BD.
(1)求證:△ABC∽△BCD
(2)DE與半圓O相切嗎?若相切,請給出證明;若不相切,請說明理由.

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cm2

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(1)求證:CE是⊙0的切線;
(2)若CD=2
5
,DE和CE的長度的比為
1
2
,求⊙O半徑.

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如圖,以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作圓O交斜邊AB于點D,若劣弧CD=120°,則
BDAD
=
3
3

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(2009•黔南州)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O,與斜邊AC交于D,E是BC邊上的中點,連接DE.
(1)DE與半圓0是否相切?若相切,請給出證明;若不相切,請說明理由;
(2)若AD、AB的長是方程x2-16x+60=0的兩個根,求直角邊BC的長.

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