Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點，與y軸交于點C，當x=-4和x=2時，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的函數值y相等，連接AC、BC．
（1）求實數a，b，c的值；
（2）若點M、N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，N，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于x=-4和x=2時，拋物線的函數相等，那么它的對稱軸為x=-1，可據此求得點B的坐標，進而可利用待定系數法求得該拋物線的解析式，從而得到a、b、c的值；
（2）連接AC，根據A、B、C三點的坐標，易求得AC、BC、AB的長，從而證得△ACB是直角三角形，且∠ABC=60°，根據折疊的性質知BM=BN=MP=PN，故四邊形PMBN是菱形，此時PN∥AB，可得△CPN∽△CAB，利用所得比例線段，即可求得t值以及對應的P點坐標；
（3）由（2）求得∠ACB=90°，若以B，N，Q為頂點的三角形與△ABC相似，那么以B，N，Q為頂點的三角形也必為直角三角形，可分三種情況考慮：
①顯然BN中點的距離要大于1，由（2）求得的t值可得到BN的長要小于1，因此以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸沒有交點，因此Q不可能為直角頂點；
②若∠BNQ=90°，則有兩種情況：
1）∠NBQ=60°，此時Q為拋物線對稱軸與x軸的交點，由于N不是線段BC的中點，故NQ與AC不平行，圖此時∠BNQ不可能是90°；
2）∠NBQ=30°，此時Q點與點P重合，顯然此時∠BNQ不等于90°；
③若∠NBQ=90°，延長NM交拋物線對稱軸于點Q，此時∠MBQ=∠MQB=30°，可得QM=BM=PM，即x軸垂直平分PQ，此時P、Q關于x軸對稱，由此可求得點Q的坐標．
解答：解：（1）由題意知：拋物線的對稱軸為x=-1，則B（1，0）
設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），
則有：a（0+3）（0-1）=，a=-
∴y=-（x+3）（x-1）=-x²-x+
故a=-，b=-，c=；

（2）∵A（-3，0），B（1，0），C（0，），
∴OA=3，OB=1，OC=，AB=4，AC=2，BC=2
故△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∠ABC=60°
由題意知：BM=BN=MP=PN=t，
所以四邊形PNBM是菱形，
∴PN∥AB，
則有：，即，
解得t=．
過P作PE⊥AB于E，
在Rt△PME中，∠PME=60°，PM=t=，
故PE=，ME=
∵OM=BM-OB=t-1=，
∴OE=OM+EM=1，
即P（-1，）；

（3）由（1）知：拋物線的對稱軸為x=-1，
所以點P在拋物線的對稱軸上；
由（2）知，∠ACB=90°，若以B，N，Q為頂點的三角形與△ABC相似，則△BNQ必為直角三角形；
①若∠BQN=90°；
由于BN=BM=t=，則BN=；
而BN中點到拋物線對稱軸的距離大于1，
故以BN為直徑的圓與拋物線對稱軸無交點，
所以∠BQN≠90°，此種情況不成立．
②若∠BNQ=90°；
當∠NBQ=60°時，Q、E重合，此時∠BNQ≠90°，
當∠NBQ=30°時，Q、P重合，此時∠BNQ≠90°，
故此種情況也不成立．
③若∠NBQ=90°，延長NM交拋物線對稱軸于點Q，
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°，EM⊥PQ，
∴P、Q關于x軸對稱，故Q（-1，-）；
綜上所述，存在符合條件的Q點，且坐標為Q（-1，-）．
點評：此題考查了拋物線的性質、函數解析式的確定，直角三角形、菱形的判定和性質，相似三角形的性質、圓周角定理等重要知識，綜合性強，難度較大．