Question

【題目】Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，D為BC中點，點E，F分別在AB，AC上，且BE=AF，

（1）求證：ED=FD，

（2）求證：DF⊥DE，

（3）求四邊形AFDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）１．

【解析】

試題（1）首先可判斷△ABC是等腰直角三角形，連接AD，再證明BD=AD，∠C=∠EAD，根據全等三角形的判定易得到△BDE≌△ADF，繼而可得出結論；

（2）由△BDE≌△ADF得到∠BDE=∠ADF，而∠ADB=90°，故可以得到∠EDF=90°，

（3）根據全等可得S△AFD=S△BED，進而得到S四邊形AFDE=S△ADB，然后再利用三角形的中線平分三角形的面積可得答案．

試題解析：

（1）如圖，連接AD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=∠B=45°，

∵D為BC中點，∴BD=CD，CD平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠DAF=45°，∴DB=AD，

在△ADF和△BED中，∵BE=AF，∠B=∠DAF=45°，BD=AD，∴△ADF≌△BED，∴ED=FD；

（2）∵△ADF≌△BED，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BDA=90°，∴∠BDE+∠EDA=∠90°，∴∠EDA+∠ADF=90°，∴DF⊥DE；

（2）∵△ADF≌△BED，∴S△AFD=S△BED，∴S四邊形AFDE=S△ADB，

∵D是BC的中點，∴S△ACD=S△ACB=．∴S四邊形AFDE=1．