Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：
①當CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標關鍵是求P的縱坐標，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據M的坐標得出，CQ=3-x，因此可根據勾股定理求出x的值，P點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x，由此可得出P的坐標．
②當CM=MP時，根據CM的長即可求出P的縱坐標，也就得出了P的坐標（要注意分上下兩點）．
③當CM=CP時，因為C的坐標為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標是6，由此可得出P的坐標；
（3）由于四邊形BOCE不是規則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標．

解答：解：
（1）由題知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

解得：

a=-1 b=-2

∴所求拋物線解析式為：
y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線解析式為：
y=-x²-2x+3，
∴其對稱軸為x=

-2

2

=-1，
∴設P點坐標為（-1，a），當x=0時，y=3，
∴C（0，3），M（-1，0）
∴當CP=PM時，（-1）²+（3-a）²=a²，解得a=

5

3

，
∴P點坐標為：P₁（-1，

5

3

）；
∴當CM=PM時，（-1）²+3²=a²，解得a=±

10

，
∴P點坐標為：P₂（-1，

10

）或P₃（-1，-

10

）；
∴當CM=CP時，由勾股定理得：（-1）²+3²=（-1）²+（3-a）²，解得a=6，
∴P點坐標為：P₄（-1，6）
綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為P（-1，

10

）或P（-1，-

10

）
或P（-1，6）或P（-1，

5

3

）；

（3）過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EF=-a²-2a+3，BF=a+3，OF=-a
∴S_{四邊形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF
=

1

2

（a+3）•（-a²-2a+3）+

1

2

（-a²-2a+6）•（-a）
=-

3

2

a2-

9

2

a+

9

2

=-

3

2

(a+

3

2

)2+

63

8

∴當a=-

3

2

時，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為

63

8

．
此時，點E坐標為（-

3

2

，

15

4

）．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合知識，要注意的是（2）中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．