Question

設a，b，c是直角三角形的三邊，其中c為斜邊，已知整數n≥3，求證：aⁿ＋bⁿ＜cⁿ．

Answer 1

答案：
解析：

答案：證明：如圖所示，有sinA＝．cosA＝． 　　因為∠A為銳角，∠C＝，所以a＜c，b＜c，所以0＜＜1，0＜＜1， 　　所以0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．當n≥3時，有sinnA＜sin2A，cosnA＜cos2A， 　　所以sinnA＋cosnA＜sin2A＋cos2A＝1，即＋＜1，所以＋＜1， 　　所以an＋bn＜cn． 　　解題指導：本題可從求證入手，考慮證＋＜1，而＝sinnA，＝cosnA，再根據sin2A＝，cos2A＝，則sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1，從而比較sinnA＋cosnA＜sin2A＋cos2A