Question

已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD和BCD組成的，點M、N分別為AD、BC的中點．
求證：四邊形BMDN是矩形．

Answer 1

分析：利用等邊三角形的“三條邊相等、三個內角都是60°”性質易證四邊形BMDN是平行四邊形，然后由等邊三角形“三合一”的性質推知平行四邊形BMDN的一內角∠DMB=90°，即平行四邊形BMDN是矩形．

解答：證明：∵△ABD和△BCD是兩個全等的正三角形，
∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°，
∴MD∥BN．
又∵M為AD中點，
∴MD=

1

2

AD，MB⊥AD，
∴∠DMB=90°．
同理BN=

1

2

BC，
∴MD=BN，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
又∵∠DMB=90°，
∴平行四邊形BMDN是矩形．即四邊形BMDN是矩形．

點評：本題考查了矩形的性質、等邊三角形的性質．解題時，注意挖掘出隱含在題中的已知條件“等邊三角形的三個內角都是60°，以及等邊三角形的“三合一”的性質來求平行四邊形BMDN的一內角∠DMB=90°．