Question

如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）繞其直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉過程中，△BDE為直角三角形．設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S．
（1）當α=30°時，求x的值．
（2）求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當S=時，判斷⊙E與A′C的位置關系，并求相應的tanα值．

Answer 1

解：（1）∵∠A=a=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1；

（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=BC=，AB=2BC=2．
由旋轉性質可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴=，
∴BE=x．
∵BD=2-x，
∴s=×x（2-x）=-x²+x．（0＜x＜2）

（3）∵s=s_△ABC
∴-+=，
∴4x²-8x+3=0，
∴，．
①當x=時，BD=2-=，BE=×=．
∴DE==．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=DE=＞BE，
∴此時⊙E與A′C相離．
過D作DF⊥AC于F，則，．
∴．
∴．
②當時，，．
∴，
∴，
∴此時⊙E與A'C相交．
同理可求出．
分析：（1）根據等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；
（2）由直角三角形的性質，AB=2，AC=，由旋轉性質求得△ADC∽△BCE，根據比例關系式，求出S與x的函數關系式；
（3）當S=時，求得x的值，判斷⊙E和DE的長度大小，確定⊙E與A′C的位置關系，再求tanα值．
點評：本題考查的知識點：等腰三角形的判定，直角三角形的性質，相似三角形的判定以及直線與圓的位置關系的確定，是一道綜合性較強的題目，難度大．