Question

把三根長為1cm的火柴桿和三根長為3cm的火柴桿擺放成如圖所示的圓周上，構成一個六邊形，那么此六邊形的面積是由三根長為1cm的火柴桿所構成的等邊三角形面積的

 

倍．

Answer 1

分析：首先根據題意畫出其等效圖，即可得△MNK是邊長為5cm的等邊三角形，△A′F′M與△B′C′N與△D′E′K是邊長為1cm的等邊三角形，則可求得此六邊形的面積是△MNK與△A′F′M、△B′C′N、△D′E′K面積的差，然后根據等邊三角性的面積的求解方法，即可求得各等邊三角形的面積，繼而求得此六邊形的面積是由三根長為1cm的火柴桿所構成的等邊三角形面積的倍數．

解答：解：∵AB=BC=CD=3cm，AF=EF=DE=1cm，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∠AOF=∠EOF=∠DOE，
∴∠BOF=∠COE=∠BOC+∠EOF=

360°

3

=120°，
∴畫等效果圖得：
A′B′=AB，B′C′=AF，C′D′=CD，D′E′=DE，E′F′=BC，A′F′=EF，
可得△MNK是邊長為5cm的等邊三角形，
△A′F′M與△B′C′N與△D′E′K是邊長為1cm等邊三角形，
∵三根長為1cm的火柴桿所構成的等邊三角形面積為：

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∴S_△MNK=

1

2

×5×

5 3

2

=

25 3

4

，
∴六邊形的面積為：

25

4

3

-3×

3

4

=

22 3

4

，
∴此六邊形的面積是由三根長為1cm的火柴桿所構成的等邊三角形面積的

22 3

4

÷

3

4

=22倍．
故答案為：22．

點評：此題考查了面積與等積變換的知識．此題難度較大，解題的關鍵是根據題意畫出等效圖，然后根據等效圖求解，注意數形結合思想的應用．