Question

【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度，并使各邊長變為原來的n倍，得△AB′C′，如圖①所示，∠BAB′=θ， = = =n，我們將這種變換記為[θ，n]．

（1）如圖①，對△ABC作變換[60°， ]得到△AB′C′，則S△AB'C：S△ABC=；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為度；

（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換[θ，n]得到△AB′C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值；

（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換[θ，n]得到△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．

Answer 1

【答案】
（1）3；60
（2）

解：如圖②中，

∵四邊形ABB′C′是矩形，

∴∠BAC′=90°．

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．

在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，

∴n= =2．

（3）

解：如圖③中，

∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，

∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°

∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，

∴θ=∠BAB′=72°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△B′BA，

∴AB2=CBB′B=CB（BC+CB′），

∵CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，

∴AB2=1（1+AB）

∴AB= ，

∵AB＞0，

∴n= = ．

【解析】解：（1）如圖①中，設直線BC與直線B′C′的交點為H，AB′交BH于O．

∵△ABC∽△AB′C′，
AB：AB′= ，
∴S△ABC：S△AB′C′=3，
∵∠B=∠B′，∠AOB=∠HOB′，
∴∠OHB=∠BAO=60°，
故答案為3，60°．
（1）根據變換[60°， ]的定義，即可解決問題．（2）想辦法求出∠CAC′，以及 的值即可．（3）想辦法求出∠BAB′，以及 的值即可