Question

（2010•硚口區模擬）如圖，⊙O的直徑AB=8，弧AC=弧BC，E為OB上一點，∠AEC=60°，CE的延長線交⊙O于D，則CD的長為（　　）

• A．6
• B．4

  2

• C．2

  6

• D．4

  3

Answer 1

分析：連接OC、OD，過點O作OF⊥CD于點F．由等弧所對的圓心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根據垂徑定理推知CF=DF=

1

2

CD；然后根據直角三角形的特殊角的三角函數值求得CD=2CF=OC•cos30°．

解答：解：連接OC、OD，過點O作OF⊥CD于點F．
∵AB是⊙O的直徑，C為弧AB的中點，
∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所對的圓心角相等）；
又∵O是圓心，OF⊥CD，
∴CF=DF=

1

2

CD，（垂徑定理）；
在Rt△OEC中，
∵∠AEC=60°，
∴∠OCE=30°（直角三角形的兩個銳角互余）；
∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=8，
∴OC=4；
∴CF=4×

3

2

=2

3

∴CD=2CF=4

3

．
故選D．

點評：本題考查的是垂徑定理、解直角三角形的相關知識，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．