Question

為了扶持大學生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府提供了50萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司，生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營的利潤逐步償還無息貸款．已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件20元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其他費用5萬元．該產(chǎn)品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式．
（2）當銷售單價定為25元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其它費用），該公司可安排員工多少人？
（3）若該公司有40名員工，則該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？

Answer 1

分析：（1）從圖中看，這是一個分段一次函數(shù)，20≤x≤30和30≤x≤40時，函數(shù)的表達式不同，每段函數(shù)都經(jīng)過兩點，使用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關系式；
（2）利用（1）中的函數(shù)關系，當銷售單價定為25元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產(chǎn)成本-員工工資-其它費用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．

解答：解：（1）當20≤x≤30時，令y=kx+b（k≠0），
則

20k+b=4 30k+b=2

，
解得

k=- 1 5 b=8

，
故y=-

1

5

x+8，
同理，當30≤x≤40時，y=-

1

10

+5．
綜上所述，

- 1 5 x+8(20≤x≤30) - 1 10 x+5(30≤x≤40)

；

（2）設公司可安排員工a人，定價25元時，
由5=（-

1

5

×25+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，
解得a=40，
所以公司可安排員工40人；

（3）當30≤x≤40時，
利潤w₁=（-

1

10

x+5）（x-30）-15-20=-

1

10

（x-60）²+5，
則當x=60時，w_max=5萬元；
當60＜x＜100時，
w₂=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70時，w_max=10萬元，
∴要盡早還清貸款，只有當單價x=70元時，獲得最大月利潤10萬元，
設該公司n個月后還清貸款，則10n≥80，
∴n≥8，即n=8為所求．

點評：本題主要考查學生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關系式，一次函數(shù)與一次不等式的應用，二次函數(shù)的應用．是一道綜合性較強的代數(shù)應用題，能力要求比較高．