Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，與y軸正半軸的交點在（0，2）的下方，在原點的上方．下列結論：
①4a-2b+c=0；②2a-b＜0；③2a-b＞-1；④2a+c＜0；⑤b＞a； 
其中正確結論的個數是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：把x=-2代入y=ax²+bx+c得：y=4a-2b+c=0即可判斷①；求出a b c的符號，根據兩個根之和為負且-

b

a

＞-1，即可判斷⑤，根據4a-2b+c=0和a+b+c＞0即可判斷④，根據-1＜-

b

2a

＜0，求出后即可判斷②，根據4a-2b+c=0推出2a-b=-

1

2

c，根據二次函數與y軸的交點位置即可判斷③．

解答：解：∵二次函數的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴把x=-2代入y=ax²+bx+c得：y=4a-2b+c=0，∴①正確；
∵二次函數的圖象開口向下，
∴a＜0，
∵二次函數的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴兩根之積為負，

c

a

＜0，即c＞0，
-

b

2a

＜0，即a、b同號，b＜0，
兩個根之和為負且-

b

a

＞-1，即a＜b＜0，∴⑤正確；
∵把（-2，0）代入y=ax²+bx+c得：4a-2b+c=0，
∴即2b=4a+c＜0（因為b＜0），
∵當x=1時，a+b+c＞0，
∴2a+2b+2c＞0，
∴6a+3c＞0，
即2a+c＞0，∴④錯誤；
∵二次函數的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴-1＜-

b

2a

＜0，
∵a＜0，
∴-2a＞-b，
∴0＞2a-b，
即2a-b＜0，∴②正確；
∵把x=-2代入y=ax²+bx+c得：y=4a-2b+c=0，
4a-2b=-c，
2a-b=-

1

2

c，
∵O＜c＜2，
∴2a-b＞-1，∴③正確；
正確的有4個．
故選C．

點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系，主要考查學生根據圖形進行推理和辨析的能力，用了數形結合思想，題目比較好，但是難度偏大．