Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數關系式及點C的坐標；

（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

 

Answer 1

：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，

∴，

解得：，

∴y=x²﹣x+3；

∴點C的坐標為：（0，3）；

 

（2）當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A點坐標為（3，0），

∴D點的坐標為：（0，3），

∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y=x²﹣x+3=﹣x+3，

∴x²﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3或0（不合題意舍去），

∴P點坐標為（0，3），

當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°，

由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，∴DF=4，

∴D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），

∴直線AD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y=x²﹣x+3=﹣x+5，

∴x²﹣3x﹣4=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=4，

∴y₁=6，y₂=1，

∴P點坐標為（﹣1，6），（4，﹣1），

∴點P的坐標為：（﹣1，6），（4，﹣1），（0，3）；

 

（3）作EM⊥BO，

∵當OE∥AB時，△FEO面積最小，

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直線CA上，

∴E點坐標為（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：x=，

∴E點坐標為（，）．

解析:：（1）根據A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數法求二次函數解析式；

（2）從當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°與當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；

（3）根據當OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．