Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的弦，D是的中點，過點D作直線于BC垂直，交BC延長線于E點，且交BA延長線于F點．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若，BE=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據圓周角定理，可證明∠AOD=∠B，則OD∥BC，從而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，因為∠AOD=∠B，，則DF=，再由△ODF∽△BEF，即可得出r．
解答：（1）證明：連接OD，
∵D是的中點，
∴∠AOD=∠B，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BE，
∴∠E=90°，
∴∠ODF=90°，
即EF是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，∵∠AOD=∠B，，BE=6，
∴DF=，
∵=
∴EF=2，
∴EF²+BE²=BF²，
即BF=8，
∵OD∥BC，
∴△ODF∽△BEF，
∴=，
即=，
則OF=r，
∴由切割線定理得，DF²=AF•BF，
即r²=r×8，
解得r=．
點評：本題考查了切線的性質和判定、圓周角定理以及解直角三角形．證明三角形的相似、切割線定理的應用是比較重要的內容．