Question

如圖，在?ABCD中，AB=2AD，點E 是AD邊的中點，點M在AB邊上，延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN．
（1）試說明四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）若AB=20，EM=12，DM=13，試猜測四邊形AMDN的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
即DN∥AM，
∴∠DNE=∠AME，
∵點E是AD邊的中點，
∴DE=AE，
∵在△DNE和△AME中，
，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴DN=AM，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：四邊形AMDN是菱形．
理由：∵AB=20，AB=2AD，
∴AD=10，
∵四邊形AMDN是平行四邊形，
∴DE=AD=5，
∵EM=12，DM=13，
∴DM²=DE²+EM²，
∴△DEM是直角三角形，即∠DEM=90°，
∴AD⊥MN，
∴平行四邊形AMDN是菱形．
分析：（1）由在?ABCD中，點E是AD邊的中點，即可證得△DNE≌△AME，則可得DN=AM，又由DN∥AM，即可得四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）由AB=20，EM=12，DM=13，AB=2AD，易得DM²=DE²+EM²，則可判定△DEM是直角三角形，即∠DEM=90°，繼而可證得四邊形AMDN是菱形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．