Question

以關于m的方程m²+（k-4）m+k=0的最大整數根為直徑作⊙O．P為⊙O外一點，過P作切線PA和割線PBC，如圖，A為切點．這時發現PA、PB、PC都是整數，且PB、BC都不是合數，求PA、PB、PC的長．

Answer 1

分析：運用根與系數的關系以及切割定理得出根的取值范圍，進而確定z的取值，從而解決．

解答：解：設方程兩根為m₁、m₂則

m1+m2=4-k，① m1m2=k．②

又設PA=x，PB=y，BC=z，則x﹑y﹑z都是正整數．
由切割線定知
PA²=PB•PC=PB（PB+BC），
即x²=y²+yz?（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的k，得
m₁m₂=4-m₁-m₂．
整理分解，得
（m₁+1）（m₂+1）=5．
因為⊙O的直徑是方程的最大整數根，不難求得最大整根m=4．進而，z=BC≤4．
又正整數z不是合數，故z=3，2，1．
當z=3時，（x+y）（x-y）=3y，有

x+y=3 x-y=y

x+y=y x-y=3

x+y=3y x-y=1.

可得適合題意的解為x=2，y=1．
當z=1和z=2時，沒有適合題意的解，
所以，PA=x=2，PB=y=1，PC=y+z=4．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，以及切割線定理，綜合性較強．