Question

【題目】如圖1,在中,,,點分別是的中點,連接.

(1)探索發現:

圖1中,的值為_____________;的值為_________．

(2)拓展探究

若將繞點逆時針方向旋轉一周,在旋轉過程中的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明．

(3)問題解決

當旋轉至三點在同一直線時,直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】(1); (2)見解析 (3)或

【解析】

（1）先判斷出∠AEB=90°，再判斷出∠B=30°，進而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結論；

（2）先判斷出，進而得出△ACD∽△BCE，即可得出結論；

（3）分點D在線段AE上和AE的延長線上，利用含30度角的直角三角形的性質和勾股定理，最后用線段的和差求出AD，即可得出結論．

解:

解: (1)如圖1，連接AE,

∵AB=AC=2，點E分別是BC的中點，

∴AE⊥ BC,

∴∠AEC=90° ,

∵AB=AC=2，∠BAC=120° ,

∴∠B=∠C=30°,

在Rt△ABE中，AE=AB=1，根據勾股定理得，BE

∵點E是BC的中點,

∴BC=2BE

∴

∵點D是AC的中點，

∴AD=CD=AC=1,

∴

故答案為：,;

(2)無變化,理由:

由(1)知,CD=1,,

∴,

∴,

由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,

∴∠ACD=∠BCE,

∴△ACD∽△BCE,

∴,

(3)線段BE的長為或，理由如下：

當點D在線段AE上時,

如圖2,過點C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,

∴∠DCF=30°,

∴,

∴,

在Rt△AFC中,AC=2,根據勾股定理得,,

∴AD=AF+DF=,

由(2)知,,

∴

當點D在線段AE的延長線上時,

如圖3,過點C作CG⊥AD交AD的延長線于G,

∵∠CDG=60°,

∴∠DCG=30°,

∴,

∴,

在Rt△ACG中,根據勾股定理得,,

∴,

由(2)知,,

∴

即:線段BE的長為或.