Question

選做題：已知二次函數y=ax²-ax+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，x₁＜x₂，交y軸的負半軸于C點，且AB=3，tan∠BAC-tan∠ABC=1．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）在第一象限，拋物線上是否存在點P，使S_△PAC=6？若存在，請你求出點P的坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=ax²-ax+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，可知是ax²-ax+m=0的兩個根，得出兩根之和；由AB=3，得出兩根之差，求得x₁、x₂，根據tan∠BAC-tan∠ABC=1求得點C，解決問題；
（2）由P作AC的平行線EF，與y軸交于E，與x軸交于F，利用三角形的面積求得兩點坐標，進一步求出直線EF，直線EF與拋物線在第一象限的交點就是P的坐標．

解答：解：（1）由已知，有

x2-x1=3 x1+x2=1

解得x₁=-1，x₂=2．
x₁x₂=-2=

m

a

，
由已知三角函數關系知

OC

OA

-

OC

OB

=1，
即

OC

1

-

OC

2

=1，得OC=2，
∴截距m=-2，
則a=1
∴y=x²-x-2．

（2）存在．
過點P作AC的平行線，與y軸交于E，與x軸交于F．
由S_△PAC=S_△EAC=S_△FAC=6，
求得E（0，10），F（5，0），
得到直線EF的解析式為y=-2x+10，
解-2x+10=x²-x-2，
可得x₁=-4，x₂=3，
于是P點的坐標為P₁（3，4），P₂（-4，18），
因為P點的坐標在第一象限，
所以P點的坐標為P（3，4）．

點評：此題是一個綜合性很強的題目，考查了一元二次方程根與系數的關系、三角函數、待定系數法求二次函數、及方程與函數之間的關系等，滲透數形結合的思想．