Question

已知：如圖，在梯形中，∥，點、在邊上，∥， ∥，且四邊形是平行四邊形．
（1）試判斷線段與的長度之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論；
（2）現有三個論斷：①；②∠+∠=90°；③∠=2∠．請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形是菱形．

Answer 1

見解析

（1）線段與的長度之間的數量為：．                            （1分）
證明：∵// ，//，
∴四邊形是平行四邊形．
∴．                                                       （2分）
同理可證，四邊形是平行四邊形．即得 ．             （1分）
又∵ 四邊形是平行四邊形，∴ ．                   （1分）
∴ ．
∴ ．                                                   （1分）
（2）選擇論斷②作為條件．                                                     （1分）
證明：∵∥，
∴．                                                   （1分）
∵，
∴ ．
即得．                                                  （2分）
又∵，
∴ ．                                                      （1分）
∵ 四邊形是平行四邊形，
∴ 四邊形是菱形．                                            （1分）
（1）由題中所給平行線，不難得出四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，而四邊形AEFD也是平行四邊形，三個平行四邊形都共有一條邊AD，所以可得出BC=3AD的結論．
（2）可選擇②作為證明條件，先證明DE=EF，然后結合四邊形AEFD是平行四邊形得出結論．