Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m≠0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B．若點(diǎn)P是拋物線C₁上的點(diǎn)，使得以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則m為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由于C₁、C₂關(guān)于y軸對(duì)稱，則A、B也關(guān)于y軸對(duì)稱，即AB∥x軸；根據(jù)C₁的解析式易知：C（0，1），A（m，m²+1）；若以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則CP∥AB，且AP=CP；由此可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)和點(diǎn)C相同也為1，代入C₁的解析式可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間距離公式可表示出AP、CP的長(zhǎng)，根據(jù)AP=CP，可列出關(guān)于m的方程，即可得出m的值．
解答：解：易知：C（0，1），A（m，m²+1）；
若以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則CP∥AB①，CP=AP②；
由①得：點(diǎn)P與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相同，將y=1代入C₁，
得：x=0或x=2m，
即P（2m，1）；
由②得：（2m）²=m²+（m²+1-1）²，
即m²=3，
解得m=±；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合體，涉及到軸對(duì)稱、菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．