Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點為E，連結CE，點A、B、D的坐標分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F，交線段CD于點K，點M、N分別是直線l和x軸上的動點，連結MN，當線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標；
（3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形的性質可求點C的坐標，由待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）連結BD交對稱軸于G，過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據待定系數法即可求出直線BD的解析式，根據拋物線對稱軸公式可求對稱軸，由此即可求出點N的坐標；
（3）過點M作直線交x軸于點P₁，分點P在對稱軸的左側，點P在對稱軸的右側，兩種情況討論即可求出直線的解析式．
解答：解：（1）∵點A、B、D的坐標分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，
∴點C的坐標為（5，4），
∵過點A、C、D作拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），
∴，
解得．
故拋物線的解析式為y=-x²+x+4．

（2）連結BD交對稱軸于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，
易證GH=HN，
∴點G與點M重合，
故直線BD的解析式y=-x+4    
根據拋物線可知對稱軸方程為x=，
則點M的坐標為（，），即GF=，BF=，
∴BM==，
又∵MN被BC垂直平分，
∴BM=BN=，
∴點N的坐標為（，0）；

（3）過點M作直線交x軸于點P₁，
易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，
由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線P₁M必與線段CD相交，
設交點為Q₁，四邊形AP₁Q₁D的面積為S₁，四邊形P₁ECQ₁的面積為S₂，點P₁的坐標為（a，0），
假設點P在對稱軸的左側，則P₁F=-a，P₁E=7-a，
由△MKQ₁∽△MFP₁，得=，
易求Q₁K=5P₁F=5（-a），
∴CQ₁=-5（-a）=5a-10，
∴S₂=（5a-10+7-a）×4=28×，
解得：a=，
根據P₁（，0），M（，）可求直線P₁M的解析式為y=x-6，
若點P在對稱軸的右側，則直線P₂M的解析式為y=-x+．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：平行四邊形的性質，待定系數法求拋物線的解析式，待定系數法求直線的解析式，拋物線對稱軸公式，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．