Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，DE=EC，過點B的切線與AD的延長線交于F，過E作EG⊥BC于G，延長GE交AD于H．
（1）求證：AH=HD；
（2）若cos∠C=，DF=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為⊙O的直徑，DE=EC，根據垂徑定理的推論，可證得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易證得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，繼而可證得AH=EH，則可證得結論；
（2）由AB為⊙O的直徑，可得∠BDF=90°，由BF是切線，可得∠DBF=∠C，然后由三角函數的性質，求得BD的長，繼而求得答案．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C=，DF=9，
∴tan∠DBF=，
∴BD==12，
∵∠A=∠C，
∴sin∠A=，
∴AB==20，
∴⊙O的半徑為10．
點評：此題考查了切線的性質、垂徑定理、圓周角定理、弦切角定理、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．