Question

如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．
在圖1中，點P是邊BC的中點，此時h₃=0，可得結論：h₁+h₂+h₃=h．
在圖2，圖3，圖4，圖5中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖2，圖3，圖4，圖5中，h₁、h₂、h₃、h之間的關系；（直接寫出結論）
（2）證明圖2所得結論；
（3）證明圖4所得結論；
（4）（附加題）在圖6中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h₁、h₂、h₃、h₄，橋形的高為h，則h₁、h₂、h₃、h₄、h之間的關系為：h₁+h₃+h₄=．圖4與圖6中的等式有何關系．

Answer 1

解：（1）圖2﹣5中的關系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁﹣h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂﹣h₃=h；
（2）圖2中，h₁+h₂+h₃=h．
∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h；
（3）證明：圖4中，h₁+h₂+h₃=h．
過點P作RS∥BC與邊AB、AC相交于R、S．
在△ARS中，由圖2中結論知：h₁+h₂+0=h﹣h₃．
∴h₁+h₂+h₃=h．
（4）由（3）可知：h₁+h₃+h₄=．
將R、S延BR、CS延長線向上平移，
當n=0時，圖6變為圖4，上面的等式就是圖4中的等式，
所以上面結論是圖4中結論的推廣．