Question

已知二次函數y=x²+qx+p的圖象與x軸交于不同的兩點A、B，頂點為C，且△ABC的面積S≤1．
（1）求q²-4p的取值范圍；
（2）若p，q分別為一個兩位數的十位與個位數字，求出所有這樣的兩位數．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC的面積=AB×點C的縱坐標的絕對值÷2，代入即可求得所求的范圍；
（2）根據（1）的范圍找到相應的整數值即可．
解答：（1）設A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂），則x₁，x₂是方程x²+qx+p=0的兩個不同的實根．
有x₁+x₂=-q，x₁x₂=p，q²-4p＞0，
∵點C的縱坐標y_C=
∴S=|x₁-x₂|•|y_C|=•||≤1，
即（q²-4p）³≤64，
q²-4p≤4，
∴0＜q²-4p≤4；

（2）由（1）知，q²-4p=1，2，3，4．
∵q²被4除余數為0或1，
∴q²-4p被4除余數也為0或1．
從而q²-4p=1，4．這兩個方程中符合題意的整數解有．故所求兩位數為23，65，34，86．
點評：主要考查了二次函數的圖象與x軸的兩個交點橫坐標和一元二次方程兩根之間的關系，用公式法求頂點坐標，在直角坐標系求面積等知識．