Question

已知一個二次函數的圖象經過A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）三點（如圖）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）若點D在x軸上，點E在（1）中所求出的二次函數的圖象上，且以點A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D、E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設二次函數解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數法列式計算出a、b、c的值，從而得解；
（2）過點C作CM⊥AB于點M，先求出點M的坐標，然后根據三角形函數的定義列式進行計算即可；
（3）根據拋物線的對稱性結合平行四邊形的性質可得AE∥x軸，從而得到點E與點B重合，然后根據平行四邊形的對邊相等求出CD的長度，再分點D在點C的左邊與右邊兩種情況求解，從而得到點D的坐標．
解答：解：（1）設二次函數解析式為y=ax²+bx+c，
∴，
解得，
∴二次函數的解析式為y=x²-4x+3；

（2）如圖，過點C作CM⊥AB于點M，
∴點M的坐標為（1，3），
tan∠BAC===3；

（3）∵點D在x軸上，點E在二次函數的圖象上，
∴以點A、C、D、E為頂點的平行四邊形中AE∥CD，
∴點E與點B重合，
∴點E的坐標為（4，3），
∴AE=4-0=4，
根據平行四邊形的對邊平行且相等CD=AE=4，
又∵點C的坐標為（1，0），
∴①當點D在點C的左邊時，AC是對角線，1-4=-3，
點D的坐標為（-3，0），
②當點D在點C的右邊時，AC是平行四邊形的邊，1+4=5，
點D的坐標為（5，0），
綜上所述點D的坐標為（-3，0）或（5，0），點E的坐標為（4，3）．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，包括待定系數法求二次函數解析式，銳角函數的三角函數，平行四邊形的性質，在確定平行四邊形的頂點時，判斷出點E與點B重合是解題的關鍵．