Question

【題目】已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥BC，

（1）如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC=5cm，求DE的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在BC邊上取點(diǎn)F，使∠DFC=60°，若BC=7，BF=2，求DF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）DE=2.5cm；（2）DF＝3．

【解析】

（1）根據(jù)角平分線定義得到∠BCD =∠ACD，由于DE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EDC =∠BCD，則∠EDC =∠ACD，然后可得ED=EC，由點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC=5cm得EC=2.5cm，所以DE=2.5cm；

（2）作DG⊥BC于點(diǎn)G，易求GB、GF的長(zhǎng)，再根據(jù)在直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求出DF的長(zhǎng)．

解：（1）∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD =∠ACD，
∵DE∥BC，

∴∠EDC =∠BCD，

∴∠EDC =∠ACD，
∴ED=EC，
∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC=5cm，
∴EC=2.5cm，

∴DE=2.5cm；

（2）作DG⊥BC于點(diǎn)G，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠EDC＝∠DCB，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠EDC，

∴∠B＝∠DCB，

∴DB＝DC．

∵DG⊥BC，

∴GB＝BC=×7＝3.5，

∴GF＝GBBF＝3.52＝1.5，

∵Rt△DGF中，∠DFG＝60°，

∴∠FDG＝30°

∴DF＝2GF＝2×1.5＝3．