Question

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上．

Ⅰ．證明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ．探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形．

小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問題中選擇一個(gè)你喜歡的問題解答．如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分．

Ⅱa．小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形DEFG就容易了．

設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)你幫小聰求出正方形的邊長(zhǎng)(結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化)．

Ⅱb．小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫出正方形．具體作法是：

①在AB邊上任取一點(diǎn)，如圖作正方形；

②連結(jié)B并延長(zhǎng)交AC于F；

③作FE∥交BC于E，FG∥交AB于G，GD∥交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．

你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

Ⅰ．證明：∵DEFG為正方形， 　　∴GD＝FE，∠GDB＝∠FEC＝90°　2分 　　∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°　3分 　　∴△BDG≌△CEF(AAS)　5分 　　Ⅱa．解法一：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH， 　　求得　7分 　　由△AGF∽△ABC得：　9分 　　解之得：(或)　10分 　　解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則　7分 　　在Rt△BDG中，tan∠B＝， 　　∴　9分 　　解之得：(或)　10分 　　解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x， 　　則　7分 　　由勾股定理得：　9分 　　解之得：　10分 　　Ⅱb．解：正確　6分 　　由已知可知，四邊形GDEF為矩形　7分 　　∵FE∥， 　　∴， 　　同理， 　　∴ 　　又∵＝， 　　∴FE＝FG 　　因此，矩形GDEF為正方形　10分