Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為（2，4）．
（Ⅰ）試用含a的代數式分別表示b，c；
（Ⅱ）若直線y=kx+4（k≠0）與y軸及該拋物線的交點依次為D、E、F，且

S△ODE

S△OEF

=

1

3

，其中O為坐標原點，試用含a的代數式表示k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若線段EF的長m滿足3

2

≤m≤3

5

，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線的頂點坐標，可用頂點式二次函數通式來表示出拋物線的解析式，展開后即可得出b、c的表達式；
（Ⅱ）可先聯立直線與拋物線的解析式，可得出一個關于x的一元二次方程，那么這個方程的解即為E、F點的橫坐標，那么可根據△ODE和△OEF的面積比以及韋達定理來求k的表達式；
（Ⅲ）可根據E、F的坐標，運用坐標系中兩點的距離公式表示出m，然后根據韋達定理和m的取值范圍來求出a的取值范圍．

解答：解：（I）由已知，可設拋物線的頂點式為y=a（x-2）²+4（a≠0），
即y=ax²-4ax+4a+4．
∴b=-4a，c=4a+4；
（II）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由方程組

y=kx+4 y=ax2-4ax+4a+4

消去y，
得ax²-（4a+k）x+4a=0  （*），
∴x₁+x₂=

4a+k

a

①，
x₁•x₂=4 ②，
又∵

S△ODE

S△OEF

=

1

3

，
∴

S△ODE

S△ODF

=

1

4

，
∴

DE

DF

=

1

4

，
∴|

x1

x2

|=

1

4

，
即|x₂|=4|x₁|，
由②，知x₁與x₂同號，
∴x₂=4x₁③，
由②、③，
得x₁=1，x₂=4；x₁=-1，x₂=-4，
將上面數值代入①，
得

4a+k

a

=±5，
解得k=a或k=-9a，
經驗證，方程（*）的判別式△＞0成立，
∴k=a或k=-9a；
（III）∵m²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
而（x₂-x₁）²=9，
由y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，
得（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²=9k²，
∴m²=9（1+k²），
即m=3

1+k2

，
由已知3

2

≤m≤3

5

，
∴

2

≤

1+k2

≤

5

，
即1≤k²≤4，
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1，
當k=a時，有1≤a≤2或-2≤a≤-1，
當k=-9a時，有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1，
即-

2

9

≤a≤-

1

9

或

1

9

≤a≤

2

9

．

點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，以及一元二次方根與系數的關系等知識點．