Question

已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點F，求證：FD²=FB•FC．

Answer 1

證明：連接AF，
∵EF是AD的垂直平分線，
∴AF=DF，
∴∠FAE=∠FDE，
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，
∴∠FAB=∠C，
∵∠AFB是公共角，
∴△AFB∽△CFA，
∴，
∴FA²=FB•FC，
即FD²=FB•FC．
分析：首先連接AF，可證得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的對應邊成比例證得FA²=FB•FC，則可得FD²=FB•FC．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．