Question

如圖，正△ABC內接于半徑為1cm的圓，則陰影部分的面積為

 

cm²．

Answer 1

分析：根據題意作出輔助線，由等邊三角形的性質作出△ABC的外心，再設出等邊三角形的邊長，由垂徑定理得出BD=

BC

2

，再根據特殊角的三角函數即可求出BC及AD的長，根據S_陰影=S_圓-S_△ABC進行計算即可．

解答：解：分別過A、C作BC、AB邊的垂線相交于點O，
由等邊三角形的性質可知，點O即為△ABC的外心，連接OB則∠OBD=30°，
設正△ABC的邊長為a，則

3

3

a=1，a=

3

，
故AD=AB•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
于是陰影部分的面積為π•1²-

1

2

×

3

×

3

2

=π•1²-

3

4

•（

3

）²=（π-

3 3

4

）（cm²）．
故答案為：π-

3 3

4

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓、特殊角的三角函數值及三角形的面積、圓的面積公式，作出輔助線，利用正三角形的性質得出△ABC的外心是解答此題的關鍵．